الخميس، 2 ديسمبر، 2010

مرونة الأجسام الصلبةElasticity of Solids


إذا أثرنا بقوة على جسم صلب ونتج عنها تغير في أبعاده أو في شكله تحركت أجزاؤه بالنسبة لبعضها البعض، فإذا أزيلت القوة المؤثرة وإستعاد الجسم تماماً شكله وحجمه الأصلي يقال إنّ الجسم تام المرونة.
القوة المؤثرة على الجسم نوعان:
1- قوى ضاغطة أو شادة: وهي القوة التي تحدث تعيراً في أبعاد الجسم.
2- قوى قاصة: وهي القوة التي تغيّر من شكل الجسم وتحدث إجهاد قص فيه.
تعريف:
الإجهاد : هو القوة المؤثرة على وحدة المساحات من الجسم ووحداته نيوتن/ متر2 (N/m2)
والإجهاد ثلاث أنواع:
1- إجهاد طولي وفيه تعمل القوة على إبعاد جزيئات الجسم من بعضها ، كما يحدث عند إستطالة خيط مرن.
2- إجهاد ضاغط وفيه تعمل القوة على تقريب جزيئات الجسم من بعضها ، كما يحدث عند إنكماش قضيب تحت قوتين ضاغطتين.
3- إحهاد قص: وفيه تعمل القوة مماسياً على الجسم كما في المكعب في الشكل أدناه:

 
                   قبل القص                 بعد القص
الإنفعال: هو التغير النسبي الحادث بفعل الإجهاد وينقسم إلى ثلاث أنواع:
1- إنفعال طولي ويساوي التغير في الطول  d l مقسوماً على طوله الأصلي l أي أنّ:
e= d l / l
2- إنفعال حجمي: وهو التغير النسبي في الحجم dV/V
3- إنفعال قص ويقاس بالزاوية   (   ) التي يدورها خط مستقيم على سطح الجسم نتيجة لتأثير القوة.
قانون هوك  (Hook's Law) :
ينص قانون هوك على :( تتناسب الإستطالة مع القوة المؤثرة تناسباً طردياً ما لم تتجاوز القوة حد المرونة)
حد المرونة: هو آخر حد بعده لا يرجع الجسم لحالته الطبيعية.
الشكل أدناه يوضح منحنى المرونة الذي يبيّن العلاقة بين الإجهاد والإنفعال الطولي 

 
·        المرحلة الأولى  oE   مرحلة المرونة وفيها تخضع المادة إلى قانون هوك وتحتفظ فيها المادة بكامل مرونتها ويكون لديها القدرة التامة على إسترجاع شكلها الأصلى وتسمى النقطة E  بحد المرونة.
·        المرحلة الثانية مرحلة اللدانة EY وفيها لا تستطيع المادة إسترجاع كامل شكلها الأصلى ولكن تحدث فيها تشوهات قليلة فى شكل المادة بعد زوال القوة المؤثرة عليها.
·        المرحلة الثالثة مرحلة الإذعان YC  وفيها نلاحظ زيادة الإنفعال رغم ثبوت الإجهاد وفى هذه المرحلة لا تخضع المادة إلى قانون هوك ولا تستطيع المادة إسترجاع شكلها الأصلى بعد زوال القوة المؤثرة عليها.
·        المرحلة الرابعة مرحلة القطع CN  وفى هذه المرحلة تحدث تشوهات كبيرة فى المادة تؤدى فى النهاية إلى القطع .
معاملات المرونة:: (Elastic moduli)
يمكن التعبير عن قانون هوك رياضياً بالمعادلة:
الإجهاد/ الإنفعال = مقدار ثابت
ويتوقف المقدار الثابت على طبيعة المادة ويميزها من ناحية مرونتها، ولذلك يطلق عليه معامل المرونة.
ولما كان هناك ثلاث أنواع من الإنفعال لذلك يوجد أيضاً ثلاثة أنواع من معاملات المرونة هي:
معامل يونج للمرونة الطولية Y
معامل المرونة الحجمية    K
معامل القـــــص G
معامل يونج للمرونة الطولية (Young 's modulus))
إذا أثرت قوتان متساويتان مقدارا ومتضادتان إتجاهاً ، على سلك طوله l ومساحة مقطعه S ونتج عن ذلك غستطالة بمقدار l Δ ، يكون معامل يونج Y هو:
الإجهاد = F/S = Y
     الإنفعال    Δl /l            

مثال:
قضيب من الصلب طوله 5 cm ومساحة مقطعه o.1 cm2 ، اثرت قوة ضاغطة على طرفيه فنقص طوله 3% من الطول الأصلي ، أوجد القوة المؤثرة على كل من طرفيه
 (Y = 2 × 103 N/m2) 
الحل:
F = Y  Δl   S
l         
S =( 0.1 × 10-2)2 = 0.1 × 10-4 m2 = 1 × 10-5 m
Δl   = 0.15 cm = 0.15 × 10-2 m = 15 × 10-4 m
L = 5 × 10-2 m
F = 2 × 103 × 15 × 10-4 × 1 × 10-5
     5 × 10-2
= 6 × 10-4 N
معامل المرونة الحجمي  (Bulk modulus):
يتغير حجم الأجسام بتغير الضغوط الواقعة عليها ، نفترض أن الحجم الإبتدائي للجسم V وأن التغير في الحجم الناشئ عن زيادة في الضغط بمقدار ΔP هو ΔV ، الإنفعال الحجمي يساوي (ΔV/V) ، ويكون معامل المرونة الحجمي K كالآتي:

الإجهاد  K=
الإنفعال     
ومنها نحصل على العلاقة :
K= - V (ΔP/ΔV)
الإشارة السالبة تدل على أن الزيادة في الضغط تحدث نقصاً في الحجم

مثال:
ثبتت قاعدة مكعب من النحاس بمقدار طول ضلعه 5cm ، ثم أثرنا على سطحه العلوي بقوة مماسية مقدارها 1.5 × 108 dynes  ، فنقص حجمه بمقدار 5 cm2 أحسب معامل المرونة الحجمي لهذا المكعب؟
الحل:
K= - V (ΔP/ΔV)
نحسب الحجم V وهو يساوي مساحة القاعدة × الإرتفاع
وبما أنّ المكعب قاعدته مربع فيكون الحجم :
V= 5 ×5×5 = 125 cm2
ΔV = 5 cm2
ΔP = F/A
حيث A هي مساحة القاعدة وتساوي :
A= 5 × 5 = 25 cm2

ومنها :
ΔP = 1.5 × 108 = 6 × 106
                         25
ومنها نحصل على معامل المرونة الحجمي :
K = - 125 (6 × 106 / 5)  = 15 × 107  dynes/ m2

أمثلة متنوعة:
·        قضيب مرن طوله 4m ومساحة مقطعه 1.5 cm2 استطال مسافة 0.07 cm نتيجة تأثير ثقل مقداره 33 kg يتدلى من القضيب ، أحسب الإجهاد والإنفعال ومعامل يونج.
الحل:
S= F =   330 × 9.8 = 2.16 × 107
A     1.5 × 10-4                                                
Δl / L = 0.07 × 10-2 / 4 = 1.75 × 10-4  
Y = 2.16 × 107 = 1.23 × 1011  N/m2
1.75 × 10-4                                                       

·        إذا كان معامل المرونة الحجمي  للزئبق هو N/m2  2.8 × 1010 أحسب النقص في حجم الزئبق من قيمته 1600 cm3 عندما تؤثر عليه قوة ضغط 1.4 × 106 pa  
الحل:
K= F/A
ΔV/V         

ΔV = F V/A = 1600 × 10-3 × 1.4 × 10-6 = 8 × 10-8 m3
2.8 × 1010                                           B                     
                               

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق